PERT y CPM, siglas de Program Evaluation Review Technique (Técnica de revisión y evaluación de programas) y Critical Path Method (Método de la ruta crítica), respectivamente, darán las respuestas a estas preguntas. Cada uno de estos métodos de programación representa un proyecto como una red, que iremos construyendo conforme avancemos.
Es importante aclarar que CPM es un método aplicable solo cuando conocemos con certeza la duración de las actividades que se ejecutarán. Por el otro lado, PERT es el que se usa cuando tenemos tiempos probables de ejecución. Esto define a CPM como un método determinista y a PERT como probabilístico.
Veamos a continuación un proyecto que cuenta con actividades cuyos tiempos de ejecución son conocidos.
El traslado inminente de la operación de las tarjetas de crédito hacia otra ciudad, desde la actual oficina central, es un proyecto importante para una compañía bancaria. La mesa directiva ha establecido como fecha límite 22 semanas para que el traslado esté terminado. Usted está a cargo de planear el traslado, de verificar que todo resulte de acuerdo con el plan y de asegurarse de que el plazo fijado se cumpla. El traslado es difícil de coordinar porque involucra muchas divisiones diferentes de la compañía. “Bienes raíces” tiene que seleccionar uno de tres sitios posibles para las oficinas. “Personal” tiene que determinar qué empleados se mudarán, cuántos nuevos empleados se contratarán y quién los va a capacitar. El grupo de sistemas y la oficina del tesorero deben organizar y poner en práctica los procedimientos de operación y los arreglos financieros para la nueva operación. Los arquitectos tendrán que diseñar el espacio interior y supervisar las mejoras estructurales que se necesiten. Cada uno de los sitios que se están considerando es un edificio existente, con la cantidad apropiada de espacio libre. Sin embargo, se deberán adquirir las divisiones entre oficinas, las instalaciones de computadoras, los muebles, y así sucesivamente. Un segundo factor de complicación es que existe interdependencia entre las actividades. En otras palabras, algunas partes del proyecto no pueden iniciarse hasta que otras estén terminadas. Considere dos ejemplos obvios: no puede montar el interior de una oficina antes de que ésta sea diseñada. Tampoco puede contratar nuevos empleados hasta que haya determinado cuáles son los requerimientos de personal.
El primer paso en el proceso es definir las actividades del proyecto y establecer las relaciones de precedencia apropiadas. Éste es un primer paso importante, ya que errores u omisiones en esta etapa pueden llevar a una programación desastrosamente imprecisa. En la tabla siguiente se muestra la primera lista de actividades que se prepara para el traslado (las columnas llamadas “Tiempo” y “Recursos” son indicadores de elementos por considerar). Ésta es la parte más importante de cualquier proyecto PERT o CPM y usualmente se lleva a cabo involucrando a varias personas, de forma que no se pasen por alto actividades importantes. Todo el trabajo debe ser un esfuerzo de equipo, no un esfuerzo individual.
| ACTIVIDAD | DESCRIPCIÓN | PREDECESORES | TIEMPO | RECURSOS |
|---|---|---|---|---|
| A | Seleccionar sitio de oficinas | - | 3 | |
| B | Crear plan organizacional y financiero | - | 5 | |
| C | Determinar requerimientos de personal | B | 3 | |
| D | Diseñar la instalación | A, C | 4 | |
| E | Construir el interior | D | 8 | |
| F | Seleccionar al personal que se va a transferir | C | 2 | |
| G | Contratar nuevos empleados | F | 4 | |
| H | Trasladar registros, personal clave, etc | F | 2 | |
| I | Hacer arreglos financieros con otras instituciones | B | 5 | |
| J | Capacitar nuevo personal | H, E, G | 3 |
En el caso anterior sabíamos exactamente la duración de las tareas a ejecutarse. Eso nos permitía saber la duración exacta del proyecto. Sin embargo, cuando esto no es posible, deberán estimarse al menos tres duraciones probables, en tres diferentes escenarios:
Esto causa que no podamos decir con exactitud la duración, si no solo dar posibles duraciones. Es decir, podremos decir la probabilidad de terminar el proyecto en un tiempo dado, nada más. Consideremos el proyecto anterior con algunas modificaciones que le traen incertidumbre:
| ACTIVIDAD | DESCRIPCIÓN | PREDECESORES | a | m | b | Tiempo esperado | Varianza |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | Seleccionar sitio de oficinas | - | 1 | 3 | 5 | ||
| B | Crear plan organizacional y financiero | - | 3 | 4.5 | 9 | ||
| C | Determinar requerimientos de personal | B | 2 | 3 | 4 | ||
| D | Diseñar la instalación | A, C | 2 | 4 | 6 | ||
| E | Construir el interior | D | 4 | 7 | 16 | ||
| F | Seleccionar al personal que se va a transferir | C | 1 | 1.5 | 5 | ||
| G | Contratar nuevos empleados | F | 2.5 | 3.5 | 7.5 | ||
| H | Trasladar registros, personal clave, etc | F | 1 | 2 | 3 | ||
| I | Hacer arreglos financieros con otras instituciones | B | 4 | 5 | 6 | ||
| J | Asegurar la capacitación | F | 1.5 | 3 | 4.5 | ||
| K | Capacitar nuevo personal | G, J | 1 | 3 | 5 |
La red se construye exactamente igual a como sería una del tipo CPM, con la salvedad de que no determinaremos la duración de la misma manera. Deben calcularse los tiempos esperados, lo cual se hace con la siguiente fórmula:
\[ tiempo\ esperado= \frac{a+4m+b}{6} \] Los tiempos esperados serán los valores con los que se calculará la duración del proyecto. Cuando hayamos obtenido la duración esperada y las actividades críticas, podemos ya calcular la varianza de las tareas críticas solamente, cuya fórmula es:
\[ \sigma^2= \frac{(b-a)^2}{36} \] Las varianzas se suman y al resultado le calculamos la raíz cuadrada. Eso será la desviación estándar. La necesitaremos para el cálculo de la probabilidad:
\[ Z= \frac{T-\mu}{\sigma} \]
pnorm(22, mean = 20, sd=2.357)## [1] 0.8019303Se construye una lujosa residencia y la coordinación del arquitecto y los subcontratistas requerirá un esfuerzo importante para cumplir con la fecha de terminación de 44 semanas (aproximadamente 10 meses) solicitada por el propietario. El gerente del proyecto preparó la siguiente tabla de duración de las tareas del proyecto.
| Actividad | Predecesora | Optimista | Más probable | Pesimista |
|---|---|---|---|---|
| A | - | 4 | 8 | 12 |
| B | A | 6 | 7 | 8 |
| C | A | 6 | 12 | 18 |
| D | A | 3 | 5 | 7 |
| E | C,D | 6 | 9 | 18 |
| F | B,C | 5 | 8 | 17 |
| G | E,F | 10 | 15 | 20 |
| H | F,G | 5 | 6 | 13 |
Los desarrolladores del método CPM permitieron agregar recursos a ciertas actividades, con el objetivo de disminuir el tiempo de ejecución de las mismas. Los recursos pueden ser más trabajadores, tiempo extra, maquinaria adicional, etcétera. Estos recursos, al ser agregados obviamente implican mayores costos, por lo que el encargado del proyecto debe sopesar si es más conveniente inyectar dinero a cambio de ahorro de tiempo.
La siguiente tabla define un proyecto de mantenimiento de dos máquinas que consta de cinco actividades. Como la gerencia ha tenido una experiencia significativa con proyectos similares, los tiempos de las actividades de mantenimiento se consideran conocidos; por consiguiente, para cada actividad se da una estimación de tiempo única. El procedimiento de calcular la ruta crítica para la red del proyecto de mantenimiento es el mismo que se utilizó para determinar la ruta crítica en las redes anteriores.
| Actividad | Descripción | Predecesora | Tiempo normal | Tiempo abatido | Costo normal | Costo abatido | Reducción máxima de tiempo | Costo de compresión por día |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | Reparar la máquina I | - | 7 | 4 | 500 | 800 | ||
| B | Ajustar la máquina I | A | 3 | 2 | 200 | 350 | ||
| C | Reparar la máquina II | - | 6 | 4 | 500 | 900 | ||
| D | Ajustar la máquina II | C | 3 | 1 | 200 | 500 | ||
| E | Probar el sistema | B,D | 2 | 1 | 300 | 550 |
La reducción máxima posible se calcula con la siguiente expresión:
\[ M_i=\tau_i-\tau'_i \]
Donde:
El costo de compresión por unidad de tiempo se obtiene mediante:
\[ K_i=\frac{C'_i-C_i}{M_i} \]
Donde:
Primero debemos calcular la reducción máxima del tiempo y el costo de compresión por día, por medio de las fórmulas mostradas con anterioridad:
| Actividad | Descripción | Predecesora | Tiempo normal | Tiempo abatido | Costo normal | Costo abatido | Reducción máxima de tiempo | Costo de compresión por día |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | Reparar la máquina I | - | 7 | 4 | 500 | 800 | 3 | 100 |
| B | Ajustar la máquina I | A | 3 | 2 | 200 | 350 | 1 | 150 |
| C | Reparar la máquina II | - | 6 | 4 | 500 | 900 | 2 | 200 |
| D | Ajustar la máquina II | C | 3 | 1 | 200 | 500 | 2 | 150 |
| E | Probar el sistema | B,D | 2 | 1 | 300 | 550 | 1 | 250 |
Para el modelo debemos considerar qu cuando una actividad empieza en su tiempo de inicio más temprano, entonces:
El tiempo de terminación debe ser mayor o igual al tiempo de inicio más temprano más el tiempo de ejecución de actividad.
Consideremos la tarea \(A\), cuyo tiempo esperado es de 7 días. Sea \(x_A=\) tiempo de terminación de la actividad \(A\) y \(y_A=\) cantidad de tiempo en que la actividad \(A\) es comprimida. Si asumimos que el proyecto se inicia en el tiempo 0, el tiempo de inicio más temprano de la actividad \(A\) es 0. Como el tiempo de la actividad \(A\) se reduce en la cantidad de tiempo que la actividad \(A\) es comprimida, su tiempo de terminación debe satisfacer la relación
\[ x_A\geq 0+(7-y_A) \]
Recordemos que en todas las expresiones de los modelos de programación lineal no deben existir variables en su lado derecho. Por lo tanto, debemos trasladar \(y_A\) al lado izquierdo:
\[ x_A+y_A \geq7 \]
ct <- read.csv("datasets/001-Problema.csv", sep = ",")
ct## XA XB XC XD XE YA YB YC YD YE DIR M
## 1 0 0 0 0 0 100 150 200 150 250 NA
## 2 1 NA NA NA NA 1 NA NA NA NA >= 7
## 3 -1 1 NA NA NA NA 1 NA NA NA >= 3
## 4 NA NA 1 NA NA NA NA 1 NA NA >= 6
## 5 NA NA -1 1 NA NA NA NA 1 NA >= 3
## 6 NA -1 NA NA 1 NA NA NA NA 1 >= 2
## 7 NA NA NA -1 1 NA NA NA NA 1 >= 2
## 8 NA NA NA NA 1 NA NA NA NA NA <= 10
## 9 NA NA NA NA NA 1 NA NA NA NA <= 3
## 10 NA NA NA NA NA NA 1 NA NA NA <= 1
## 11 NA NA NA NA NA NA NA 1 NA NA <= 2
## 12 NA NA NA NA NA NA NA NA 1 NA <= 2
## 13 NA NA NA NA NA NA NA NA NA 1 <= 1Debemos cargar la biblioteca lpSolve y capturar los comandos necesarios para su resolución:
library(lpSolve)
fo <- c(ct[1,1:10])
matriz <- ct[2:13,1:10]
direcciones <- ct[2:13,11]
constantes <- ct[2:13,12]
solucion <- lp("min", fo, matriz, direcciones, constantes)
solucion## Success: the objective function is 350solucion$solution## [1] 5 8 6 8 10 2 0 0 1 0Norton está instalando un nuevo sistema de cómputo. Las actividades, el tiempo de actividad, y el proyecto de red, son como sigue:
| Actividad | Predecesora | Tiempo normal | Tiempo abatido | Costo normal | Costo abatido | Reducción máxima de tiempo | Costo de compresión por día |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | - | 3 | 1 | 900 | 1700 | ||
| B | - | 6 | 3 | 2000 | 4000 | ||
| C | A | 2 | 1 | 500 | 1000 | ||
| D | B, C | 5 | 3 | 1800 | 2400 | ||
| E | D | 4 | 3 | 1500 | 1850 | ||
| F | E | 3 | 1 | 3000 | 3900 | ||
| G | B, C | 9 | 4 | 8000 | 9800 | ||
| H | F, G | 3 | 2 | 1000 | 2000 |
El cálculo de ruta crítica muestra que B-D-E-F-H es la ruta crítica y que el tiempo de terminación del proyecto esperado es de 21 semanas. Después de revisar esta información, la gerencia afirmó que se utilizará tiempo extra para completar el proyecto en 16 semanas.