A lo largo del día escuchamos conceptos como crédito, tasa de interés, capital, monto, interés sobre interés, amortización, deuda, anualidades, etcétera. Eso es especialmente común cuando ya se llega a cierta edad y se contraen responsabilidades al querer adquirir productos o servicios. La mayoría del tiempo comprendemos a qué se refieren, pero siempre existirá algo que se nos escape o no sepamos exactamente a qué se refiere o cómo funciona. Sin embargo, es necesario que sí tengamos al menos la noción de lo que todos estos elementos implican, porque afectan algo que en el estado actual del mundo es sumamente importante: el dinero. El dinero es uno de los mayores inventos de la Humanidad y es, curiosamente, un concepto hasta cierto punto metafórico. El dinero no es la moneda o el billete. Es «cualquier cosa que la gente esté dispuesta a utilizar para representar de manera sistemática el valor de otras cosas con el propósito de intercambiar bienes y servicios.» ( Yuval Noah Harari. (2014). Sapiens: De animales a dioses. España: Debate.). Por lo tanto, el dinero obtiene su valor del trato entre dos entidades. La manera en la que el dicho valor se comporta, es lo que se abordará.
Como su nombre lo indica, la materia se centra en la aplicación de las Matemáticas a las Finanzas, poniendo énfasis en la manera en la que el dinero cambia su valor con respecto al tiempo y cómo también debe pagarse por el uso de dinero que no nos pertenece (el crédito). Por lo tanto, en el curso nos centraremos en analizar y comprender la relación que existe entre el dinero con el que contamos (le llamaremos Capital), el tiempo -o Plazo-, que transcurre mientras conservamos o prestamos dicho dinero y la Tasa, que viene siendo la proporción de cambio del valor de nuestro dinero. Más adelante abordaremos esos temas, los cuales implican el uso de ciertas herramientas matemáticas. Dichas herramientas se estudiarán en la presente unidad.
Con este término nos referimos a cuando queremos obtener una proporción en relación con cada cien unidades. Por ejemplo, cuando nos referimos a 5 de cada 100 piezas, estamos hablando del 5%. La conversión entre un porcentaje y su equivalente decimal puede obtenerse simplemente dividiendo el propio porcentaje entre cien y quitando el símbolo \(\%\). El camino inverso se sigue cuando queremos convertir un decimal a porcentaje, multiplicamos por cien y agregamos el \(\%\). Así:
\[ 1\%=\frac{1}{100}=0.01=(0.01)(100)\%=1\% \]
\[ 10\%=\frac{10}{100}=0.1=(0.1)(100)\%=10\% \]
\[ 0.1\%=\frac{0.1}{100}=0.001=(0.001)(100)\%=0.1\% \]
\[ 100\%=\frac{100}{100}=1=(1)(100)\%=100\% \]
Abordaremos los dos procedimientos usuales, de porcentaje a cantidad y viceversa.
Dado un porcentaje respecto a una cantidad, simplemente se multiplica la cantidad por el porcentaje convertido a decimal.
\[ \frac{15\%}{100}\cdot 600=0.15\cdot 600=90 \]
\[ \frac{8\%}{100}\cdot 750=0.08\cdot 750=60 \]
\[ \frac{105%}{100}\cdot 20=1.05\cdot 20=21 \]
\[ \text{IVA}\rightarrow \frac{16}{100}\cdot 255=0.16\cdot255= 40.8\\ \text{Total a pagar}\rightarrow 255+40.8=295.8\ \\ \text{o directamente}\rightarrow255(1+\frac{16}{100})=295.8 \]
\[ \text{Descuento}\rightarrow \frac{25}{100}\cdot 450=112.5\\ \text{Total a pagar}\rightarrow 450-112.5=337.5\\ \text{o directamente}\rightarrow 450\left(1-\frac{25}{100}\right)=337.5 \]
La otra situación que puede presentarse es que se necesite calcular el porcentaje equivalente a una cantidad, respecto de otra cantidad. En ese caso se multiplica la cantidad deseada por cien y se divide entre la cantidad total. Por ejempo:
\[ \left(\frac{60\cdot 100}{500}\right)\%=12\% \]
\[ \left(\frac{23\cdot 100}{18}\right)\%\approx 127.778\% \]
\[ \left(\frac{28.90\cdot 100}{25}\right)\%= 115.6\%\\ \text{El precio ha aumentado un 15.6%.} \]
\[ \text{Porcentaje}\rightarrow \left(\frac{3240\cdot100}{3600}\right)\%=90\%\\ \text{Como las ventas han bajado en un 90%, entonces}\\ \text{el cambio es del 10% a la baja} \]
Dada la cantidad resultante, ahora es necesario encontrar el porcentaje respecto de una cantidad. Por ejemplo, ¿de qué cantidad es 60 el 15%?
\[ \frac{60\cdot 100}{15}=400 \]
\[ \frac{28\cdot 100}{35}=80 \]
\[ \frac{3600\cdot 100}{20}=18,000 \]
Es una sucesión de números, llamados términos, en la que cualquier término posterior al primero puede obtenerse del anterior, sumándole (o restándole) un número constante llamado diferencia común ( d). Así, por ejemplo:
\[ 5, 8, 11, 14, ... \]
Es una progresión aritmética cuya diferencia es \(3\), ya que el siguiente número se obtiene siempre sumando esta cantidad. Así, el número que sigue es \(17\), luego el \(20\).
Otro ejemplo es la siguiente progresión:
\[ 30,24,18,12,6,0,-6,... \]
En este caso tenemos una progresión cuya distancia es «negativa», es decir, hay que restarla para obtener el siguiente término. Por lo tanto, \(r = -6\).
Podemos ya definir algunas variables que nos ayudarán a desarrollar progresiones aritméticas y calcular términos que en algún momento desconozcamos: $a= $ primer término; $d= $ distancia entre términos; $n= $ número de términos; $u= $ último término.
Con esto, podemos enunciar la primera fórmula, la cual nos permitirá encontrar el último término de una progresión aritmética, conociendo el número de términos, el primero y la distancia entre ellos:
\[ u=a+d(n-1) \]
Obtengamos el último término de una progresión formada por 15 términos, la cual comienza en 4 y la distancia es de 2:
\[ a=4\\ d=2\\ n=15\\ u=¿?\\ \ \\ u=a+d(n-1)=4+2(15-1)=4+2(14)=4+28=32\\ u=32 \]
Aplicado. Debe realizar unos pagos de manera mensual, siendo 12 el número total de estos. Sabe que el primero es de \(\$250\), el segundo de \(\$240\) y el tercero de \(\$230\). ¿De cuánto será el último pago?
R:. Primero, obtenemos la distancia entre términos y enseguida organizamos los datos. La distancia es fácil obtenerla, ya que sabemos que es la diferencia entre términos. El primero es 250 y el segundo es 240, es decir, \(240-250=-10\); por lo cual hay una diferencia negativa de \(\10\). Ahora organicemos:
\[ n=12\ pagos\\ a=250\\ d=-10\\ u=? \]
Ahora calculamos el último término con la fórmula que toca:
\[ u=a+d(n-1)=250+(-10)(12-1)=250+(-10)(11)=250-110=140 \]
El último pago será de \(\$140\).
Ahora bien, conociendo el último de los términos, la distancia y el número de ellos, ¿es posible encontrar el primero? Despejemos la fórmula anterior:
\[ u=a+d(n-1)\rightarrow a=u-d(n-1) \]
¿Cuál es el primer término de una progresión si el último es 32, siendo 2 la distancia entre los 15 que la conforman?
\[ a=¿?\\ d=2\\ n=15\\ u=32\\ \ \\ a=u-d(n-1)=32-2(15-1)=32-2(14)=32-28=4\\ a=4 \]
Retomando el mismo ejemplo, ¿es posible encontrar la distancia entre los términos de una progresión que comienza en 4, termina en 32 y contiene 15 valores? Desarrollemos la fórmula y probemos:
\[ u=a+d(n-1)\rightarrow u-a=d(n-1)\rightarrow \frac{u-a}{n-1}=d\\ d=\frac{u-a}{n-1} \]
Muy bien, ya tenemos la fórmula. Calculemos entonces la distancia:
\[ a=4\\ d=¿?\\ n=15\\ u=32\\ \ \\ d=\frac{u-a}{n-1}=\frac{32-4}{15-1}=\frac{28}{14}=2\\ d=2 \]
También es posible encontrar el número de términos que entran en una progresión aritmética si ya conocemos el primero, el último y la distancia que existe entre ellos. Retomando el ejemplo, despejemos la fórmula y probemos que es 15:
\[ u=a+d(n-1)\rightarrow u-a=d(n-1)\rightarrow\frac{u-a}{d}=n-1\\ \rightarrow\frac{u-a}{d}+1=n\rightarrow n=\frac{u-a}{d}+1 \]
\[ a=4\\ d=2\\ n=¿?\\ u=32\\ \ \\ n=\frac{u-a}{d}+1 = \frac{32-4}{2}+1=\frac{28}{2}+1=14+1=15\\ n=15 \]
Así como podemos calcular cualquier término, también es posible encontrar la suma de todos los términos en una progresión. La fórmula que nos permite dicho cálculo es :
\[ S=\frac{n(a+u)}{2} \]
Veamos unos ejemplos:
Encontremos la suma de los primeros treinta términos de la progresión aritmética \(15;21;27;...\)
Lo primero que debemos hacer es encontrar el último número a partir de los datos. Sabemos que el primero es 15 y el segundo es 21, por lo tanto la distancia existente es de \(21-15=6\). Podemos saber la distancia restando el primer elemento del segundo. Ahora encontremos el último término aplicando la fórmula que corresponde:
\[ n=30\\ a=15\\ d=6\\ u=?\\ \ \\ u=a+d(n-1)=15+6(30-1)=15+6(29)=15+174=189\\ \ \\ u=189 \]
Ahora que ya tenemos al último término, apliquemos la fórmula de la suma:
\[ S=\frac{n(a+u)}{2}=\frac{30(15+189)}{2}=\frac{30(204)}{2}=\frac{6120}{2}=3060 \]
Aplicado. Supongamos que tenemos que realizar 10 pagos con uno inicial por \(\$650\). Sabemos que también irá disminuyendo el valor del pago por una diferencia de \(\$25\). ¿Cuál será el valor total de la deuda?
Primero debemos encontrar el valor del último pago. Para ello utilizamos la fórmula del último término. Cuando ya lo tengamos podemos calcular la sumatoria.
\[ a=650\\ d=-25\\ n=10\\ u=?\\ \ \\ u=a+d(n-1) \rightarrow 650+(-25)(10-1)=650+(-225)=425\\ \ \\ u=425 \]
Calculemos el valor de la suma de la progresión:
\[ S=\frac{n(a+u)}{2}=\frac{10(650+425)}{2}=\frac{10(1075)}{2}=\frac{10750}{2}=5375 \]
El valor total de los pagos es de \(\$5,375\).
Una progresión geométrica es una sucesión de términos, en la que cualquier término posterior al primero puede obtenerse del anterior, multiplicando (o dividiendo) un número constante llamado razón ( r). Así, por ejemplo:
\[ 4,12,36,108,... \]
En esta secuencia podemos ver que el primer número es 4 y el siguiente es 12. Podríamos creer que es una progresión aritmética con distancia de 8. Eso haría que el tercer término fuera 20. Pero no es así. Esto se debe a que la progresión no es aritmética, sino geométrica. Así como la distancia entre términos de la progresión aritmética se obtiene restándole el primer término al segundo, en la geométrica se obtiene dividiendo el segundo término entre el primero:
\[ r=\frac{12}{4}=3\\ \ \\ r=3 \]
Solo que no se le conoce como distancia, si no como razón. Sabiendo esto, tomemos el segundo término y multipliquémoslo por la razón. Esto debe dar como resultado el tercer término:
\[ (12)(3)=36;\\ (36)(3)=108;\\ (108)(3)=324;\\ ... \]
Sabiendo esto, enunciamos las fórmulas que nos permitirán calcular el último, el primero o el total de términos, la razón sin tener la progresión y la suma de todos ellos.
Muy importante notar que ciertas fórmulas posteriores van a cambiar en función de si la progresión tiene una razón menor o mayor a 1. Las progresiones con razón mayor a 1 son crecientes, es decir, siempre van hacia arriba o teniendo valores mayores cada vez. El caso contrario es cuando la razón es menor a 1, siendo pues una progresión decreciente, que va disminuyendo en lugar de crecer.
\[ u=ar^{n-1} \]
Por ejemplo, encontremos cuál es el último término de una progresión de 6 números cuyo primero es 5 y la razón es de 8.
\[ a=5\\ n=6\\ r=8\\ u=?\\ \ \\ u=ar^{n-1}=5(8)^{6-1}=5(8)^5=5(32768)=163840\\ \ \\ u=163,840 \]
El crecimiento en una progresión geométrica es, por mucho, más acelerado y acusado que en una aritmética.
Necesitamos despejar la fórmula anterior:
\[ u=ar^{n-1} \rightarrow a=\frac{u}{r^{n-1}} \]
Despejando la fórmula del último término es posible obtener la que nos permita saber la razón de la progresión.
\[ u=ar^{n-1} \rightarrow r^{n-1}=\frac{u}{a} \rightarrow r= \sqrt[n-1]{\frac{u}{a}} \]
De momento solo mostraremos la fórmula para encontrar el número de términos. El método de despeje requiere de conocimientos que aún no se abordan.
\[ n=\frac{ln(\frac{u}{a})}{ln(r)}+1 \]
Pueden darse los dos casos que ya se mencionaron anteriormente, cuando la razón es menor a 1 y cuando es mayor a 1:
\[ S=\frac{a-ar^n}{1-r}\ \text{siempre que}\ r<1\\ \ \\ S=\frac{ar^n-a}{r-1}\ \text{siempre que}\ r>1 \]
Entonces, para encontrar la suma de los primeros 10 términos de la progresón geométrica 1000, 1500, 2250, 3375, …
$$ r=1500 / 1000=1.5\ u=ar{n-1}=1000(1.5){10-1}=1000(1.5)^9=\1000(38.443359375)=38443.359375\ \ r>1, \
S===\ ==\ =113,330.078125 $$
Es aquel tipo de progresión geométrica cuya razón es menor que 1, el número de términos es ilimitado, pero la suma de sus términos es cuantificable. Por ejemplo, sea la progresión:
\[ 1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\frac{1}{125},... \]
Su razón es 1/5 y el número de sus términos es ilimitado. Consecuentemente, no hay último término; pero sí puede calcularse la suma de sus términos con la fórmula:
\[ S=\frac{a}{1-r} \]
Así, para la anterior progresión es posible calcular la suma de sus términos, sabiendo que su razón es de 1/5 y su primer término es 1:
\[ S=\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{1-0.2}=\frac{1}{0.8}=1.25 \]
Los logaritmos son funciones muy comunes en las matemáticas financieras. A continuación veremos un conjunto de propiedades que nos permitirán simplificar dichas expresiones logarítmicas.
\[ ln(a)+ln(b)=ln(ab) \]
Esta propiedad indica que cuando tengamos una suma de logaritmos con argumentos diferentes, podemos simplificarla en un solo logaritmo, multiplicando sus argumentos solamente. Veamos un ejemplo:
\[ ln(2x^3)+ln(5x^2)=ln(2x^3\cdot 5x^2)=ln(10x^5) \]
Cuando los argumentos son iguales podemos tratar a las funciones de manera «normal». Esto es, podemos sumarlas:
\[ ln(a)+ln(a)=2\cdot ln(a) \]
Aunque nada nos impide aplicar la Propiedad 1:
\[ ln(a)+ln(a)=ln(a\cdot a)=ln(a)^2 \]
Posteriormente probaremos que \(2ln(a)=ln(a)^2\).
\[ ln(a)-ln(b)=ln\left(\frac{a}{b}\right) \]
Así como la suma de logaritmos es igual a un solo logaritmo con la multiplicación de sus argumentos originales como argumento único, la resta de logaritmos es igual a uno solo pero con el cociente de sus argumentos. Veamos el ejemplo:
\[ ln(4x^8)-ln(x^5)=ln\left(\frac{4x^8}{x^5} \right)=ln(4x^3) \]
Es posible convertir la potencia del argumento en coeficiente del logaritmo y viceversa:
\[ ln(a)^n=n\cdot ln(a) \]
Veamos un ejemplo:
\[ ln(7x)^3=3\cdot ln(7x) \]
Esto nos permitirá simplificar ciertas expresiones e incluso resulta de bastante ayuda cuando debamos despejar un exponente.
En ciertas ocasiones nos veremos obligados a despejar el argumento de un logaritmo. Para ello, es necesario contar con algo que nos permita cancelar dicho logaritmo. La función contraria a este es el número de Euler.
Conociendo esto, entonces podemos cancelar un logaritmo si le aplicamos el número de Euler, dejando solamente al argumento:
\[ e^{ln(a)}=a \]
\[ e^{ln(3x^3)}=3x^3 \]
Así como el logaritmo es cancelado por el número de Euler, también este último puede sr eliminado por el logaritmo.
\[ ln(e^{a})=a \]
El objetivo es encontrar el valor de una variable que desconocemos, a partir de expresiones que contienen logaritmos en mayor medida y al número de Euler en menor. Veamos algunos ejemplos:
Tenemos la siguiente ecuación logarítmica. Debemos encontrar el valor de \(x\).
\[ ln(3x)+ln(2x)=2\\ \]
El primer paso es identificar la operación que afecta a los logaritmos. Vemos que es una suma, por lo que aplicamos propiedad 1 al lado izquierdo:
\[ ln(3x\cdot 2x)=2 \rightarrow ln(6x^2)=2 \] El primer objetivo es reducir todos los logaritmos a uno solo. Esto ya se ha conseguido. Ahora ya podemos cancelar al logaritmo restante. Esto se consigue con la propiedad 4, por lo que aplicamos el número de Euler a ambos lados de la ecuación, para evitar alterarla:
\[ ln(6x^2)=2\\ e^{ln(6x^2)}=e^2\\ 6x^2=e^2 \]
Valuamos el exponencial (Euler) restante, sabiendo que \(e=2.71828\) o bien, con la calculadora científica y la función \(e\):
\[ 6x^2=7.389 \]
Como objetivo final, despejamos y obtenemos el valor de \(x\):
\[ 6x^2=7.389\\ x^2=\frac{7.389}{6}=1.2315\\ x=\sqrt{1.2315}\\ \ \\ x=1.1097 \]
Encontrar el valor de \(x\):
\[ ln(6x^4)-ln(3x)=3\\ \]
Primer objetivo: reducir los logaritmos. Primer paso, identificar que es una resta. Segundo paso, identificar la propiedad que permita la reducción: propiedad 2. Tercer paso, aplicar la propiedad y simplificar, si es posible:
\[ ln(6x^4)-ln(3x)=3\\ ln\left(\frac{6x^4}{3x}\right)=3\\ ln(3x^3)=3 \]
Segundo objetivo: cancelar el logaritmo restante. Primer paso, aplicar el número de Euler a ambos lados. Segundo paso, aplicar la propiedad 4 y cancelar el logaritmo. Tercer paso, valuar el exponencial que queda.
\[ e^{ln(3x^3)}=e^3\\ 3x^3=e^3\\ 3x^3=20.0855 \]
Tercer objetivo: encontrar el valor de \(x\):
\[ 3x^3=20.0855\\ x^3=\left( \frac{20.0855}{3}\right)=6.695\\ x=\sqrt[3]{6.695}\\ \ \\ x=1.8847 \]
Ahora tendremos una variación. Los argumentos serán iguales:
\[ ln(3x)+ln(3x)=1 \]
Primer objetivo: reducir los logaritmos. Como podemos notarlo, es posible sumar los logaritmos de manera «natural» usando la propiedad 1.1:
\[ ln(3x)+ln(3x)=1\\ 2ln(3x)=1 \]
Aquí debemos despejar el logaritmo antes de intentar cancelarlo, ya que ese \(2\) lo impide.
\[ 2ln(3x)=1\\ ln(3x)=\frac{1}{2}=0.5\\ \]
Ya podemos cancelar el logaritmo aplicando Euler a ambos lados:
\[ e^{ln(3x)}=e^{0.5}\\ 3x=e^{0.5}=1.6487\\ x=\frac{1.6487}{3}=0.5496\\ \ \\ x=0.5496 \]
Veamos un caso diferente:
\[ 2ln(2x)-ln(x)+3ln(2x)=2\\ \]